Théorème de Thalès
Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie plane qui permet de déterminer la longueur d'une droite ou d'un segment si l'on connait les longueurs de deux autres segments qui lui sont parallèles et qui intersectent la première droite ou le premier segment en des points communs.
1- Théorème de Thalès 3AC Cours vidéo:
Propriété directe
« Si une droite parallèle à une des droites d'un triangle coupe les autres deux droites du triangle, les longueurs des segments coupés sont proportionnelles. »
Soit un triangle ABC et la droite D parallèle à la droite BC. On note E et F les points d'intersection de la droite D avec les droites AB et AC.
Le théorème de Thalès nous dit que les segments AE et BF sont proportionnels aux segments AB et AC.
Formule
On peut exprimer cette proportionnalité par la formule suivante :
AE/BF = AB/AC
Applications
Le théorème de Thalès peut être utilisé dans de nombreuses applications, notamment :
- Pour déterminer la longueur d'un pont ou d'une tour, à partir de la mesure de l'angle formé par la base du pont ou de la tour et une parallèle à l'autre base.
- Pour déterminer la distance entre deux points, à partir de la mesure de la distance entre un point et un troisième point, et de la mesure des angles formés par la droite reliant les deux points et les droites reliant le point de départ au troisième point et au point d'arrivée.
- Pour déterminer la hauteur d'un arbre, à partir de la mesure de la distance entre le pied de l'arbre et un point situé à une certaine distance de l'arbre, et de la mesure de l'angle formé par la ligne reliant le point au sommet de l'arbre et la ligne reliant le point au pied de l'arbre.
Exercices
Voici quelques exercices sur le théorème de Thalès :
- Exercice 1
Dans le triangle ABC, la droite D est parallèle à la droite BC. On note E et F les points d'intersection de la droite D avec les droites AB et AC. Si AB = 12 cm, AC = 15 cm et AE = 10 cm, alors BF vaut combien ?
Réponse
On applique la formule du théorème de Thalès :
AE/BF = AB/AC
10/BF = 12/15
BF = 15/12 * 10
BF = 12.5 cm
La réponse est donc 12.5 cm.
- Exercice 2
Une tour de 30 mètres de haut est située à 50 mètres d'un point A. Un observateur situé au point A mesure un angle de 60° avec la base de la tour. Quelle est la distance entre l'observateur et le sommet de la tour ?
Réponse
On trace une parallèle à la base de la tour passant par l'observateur. Cette parallèle coupe la tour en un point B.
On a AB = 30 mètres et l'angle AOB = 60°.
On applique la formule du théorème de Thalès :
AB/BC = AO/OB
30/BC = 60/90
BC = 30 * 90 / 60
BC = 45 mètres
La distance entre l'observateur et le sommet de la tour est donc de 45 mètres.
Ces exercices ne sont que des exemples, il existe de nombreux autres exercices sur le théorème de Thalès.
Séries d'Exercices corrigés PDF / Théorème de Thalès 3APIC :
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