🧮 L’ordre dans ℝ – Cours et Exercices Maths Tronc Commun TCSF BIOF R
L’étude de l’ordre dans l’ensemble des réels ℝ est essentielle pour comprendre les inégalités, les intervalles, et les fonctions. Ce chapitre du programme de mathématiques du Tronc Commun Sciences Français (TCSF) pose les bases de la comparaison des nombres réels et de leur organisation sur la droite numérique.
📘 1. Cours : Définitions et propriétés
🔹 A. Comparaison de deux réels
Soient ( a, b \in \mathbb{R} ) :
- ( a < b ) signifie que ( b - a \in \mathbb{R}_+^* )
- ( a \leq b ) signifie que ( b - a \in \mathbb{R}_+ )
- ( a > b ) signifie que ( a - b \in \mathbb{R}_+^* )
- ( a \geq b ) signifie que ( a - b \in \mathbb{R}_+ )
🔹 B. Propriétés de l’ordre
- Transitivité : Si ( a \leq b ) et ( b \leq c ), alors ( a \leq c )
- Compatibilité avec l’addition : Si ( a \leq b ), alors ( a + c \leq b + c )
- Compatibilité avec la multiplication :
- Si ( c > 0 ), alors ( a \leq b \Rightarrow ac \leq bc )
- Si ( c < 0 ), alors ( a \leq b \Rightarrow ac \geq bc )
🔹 C. Intervalles
- ( [a; b] ) : fermé
- ( ]a; b[ ) : ouvert
- ( [a; b[ ), ( ]a; b] ) : semi-ouverts
- Utilisation dans les inéquations et la valeur absolue
📝 2. Exercices corrigés
✅ Exercice 1 : Comparaison directe
Comparer sans calculatrice :
- ( \sqrt{5} + \sqrt{3} ) et ( \sqrt{8} + \sqrt{2} )
- ( \pi^2 ) et ( 9.8 )
- ( 2^{1/3} ) et ( 3^{1/4} )
✅ Exercice 2 : Intervalles
- Donner les entiers relatifs dans ( ]-3; 5] )
- Déterminer l’intersection de ( [-2; 4[ ) et ( ]1; 6] )
- Exprimer ( |x – 3| \leq 2 ) sous forme d’intervalle
✅ Exercice 3 : Inéquations
Résoudre dans ℝ :
- ( 3x – 5 < 2x + 1 )
- ( x^2 – 5x + 6 \geq 0 )
- ( \frac{2x – 1}{x + 3} \leq 0 )
✅ Exercice 4 : Valeur absolue
Résoudre dans ℝ :
- ( |2x – 3| = 5 )
- ( |x + 1| < 4 )
Sources :
🎯 Objectifs pédagogiques
- Maîtriser les comparaisons et les propriétés de l’ordre
- Manipuler les intervalles et résoudre des inéquations
- Appliquer les notions dans des contextes variés
📘 3. Cours : Ordre Dans R PDF :
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📘 4. Série d'exercices : Ordre Dans R PDF :
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